Леонид Филатов родился 24 декабря 1946 года в Казани. Родители — однофамильцы: отец Филатов Алексей Еремеевич (1910—1953), мать Филатова Клавдия Николаевна (род. 1924). Семья часто переезжала — отец был радистом и много времени проводил в экспедициях. Когда мальчику исполнилось семь лет, родители развелись, и Леонид с матерью уехал в Ашхабад к родственникам. Учился в школе № 6. Ещё будучи школьником, начал печататься в ашхабадской прессе.
В 1965 году после школы приехал в Москву, рассчитывая поступать на режиссёрский факультет ВГИКа. Попытка была неудачной, и Леонид по совету одноклассника решил сдать экзамены на актёрский факультет Щукинского училища. Был принят на курс В. К. Львовой и Л. М. Шихматова, окончил театральное училище в 1969 году.
В 1969 году становится актёром Московского театра на Таганке. Первая главная роль — Ведущий — в спектакле «Что делать?». Играл в спектаклях «Мастер и Маргарита», «Вишнёвый сад», «Дом на набережной», «Пристегните ремни», «Пугачёв», «Антимиры», «Товарищ, верь»; роли Горацио в «Гамлете», Кульчицкого в «Павших и живых», Федерциони в «Жизни Галилея»; «Игроки-21» (творческое объединение «Артель артистов Сергея Юрского»).
С 1985 по 1987 год «Таганку» возглавляет Анатолий Эфрос — Филатов в это время работает в театре «Современник», затем возвращается в «Таганку».
В 1993 года вместе с Николаем Губенко, Натальей Сайко, Ниной Шацкой и другими актёрами создаёт творческое объединение «Содружество актёров Таганки».
Автор пьес «Пёстрые люди», «Часы с кукушкой», «Художник из Шервудского леса». Автор песен к спектаклям «Театр Клары Газуль», «Мартин Иден», «Когда-то в Калифорнии», «Геркулес и Авгиевы конюшни». Вместе с другими актёрами был соавтором спектакля «Под кожей статуи Свободы».
С 1970 года Филатов работает в кино, снимается в фильмах «Город первой любви», «Экипаж», «Женщины шутят всерьёз», «Грачи», «Успех», «Чичерин», «Забытая мелодия для флейты», «Город Зеро», «Благотворительный бал». В 1990 году снял по своему сценарию фильм «Сукины дети», сыграв там одну из ролей.
В 1989 году Леонид Филатов был избран секретарём Союза кинематографистов СССР.
Со времени учёбы занимается литературным творчеством, пишет стихи, пародии на известных советских поэтов. У него выходят книги «Про Федота-стрельца, удалого молодца», «Большая любовь Робина Гуда», «Любовь к трём апельсинам», «Лизистрата», «Театр Леонида Филатова», «Я — человек театральный», «Сукины дети». В 1998 году Филатову присуждена годовая премия литературного журнала «Октябрь» за комедию «Лизистрата».
С 1960-х пишет песни в соавторстве с Владимиром Качаном. В 1996 году вышел диск «Оранжевый кот» с песнями Качана и Филатова. 26 мая 2000 года Филатову вручена международная премия «Поэзия» в номинации «Русь поющая».
С 1995 года по 2003 год Филатов вёл на телеканале ОРТ передачу «Чтобы помнили», посвящённую незаслуженно забытым, хотя и известным в прошлом артистам, ушедшим из жизни. Программа выпускалась телекомпанией REN-TV. 16 мая 1996 года Филатову была присуждена премия ТЭФИ Академии российского телевидения за цикл авторских программ «Чтобы помнили». Кроме того, за этот цикл Филатову в том же году указом Президента РФ была присуждена Государственная премия РФ в области кино и телевидения.
Первая жена — Лидия Савченко, актриса Театра на Таганке. Был женат на знаменитой Маргарите любимовского спектакля, впоследствии — актрисе «Содружества актёров Таганки» Нине Шацкой.
В 1993 году Филатов перенёс инсульт, а в 1996 году — тяжелую операцию по удалению обеих почек. Более двух лет он пролежал на гемодиализе — аппарате «Искусственная почка». В 1998 году актёру была произведена операция по пересадке донорской почки.
В октябре 2003 года Филатов простудился, у актёра началось двустороннее воспаление лёгких. С 16 октября Леонид Филатов находился в тяжёлом состоянии в реанимации Центральной городской клинической больницы. Всё это время он был подключён к аппарату искусственного дыхания в состоянии «лекарственного и медикаментозного сна». Для лечения необходимо было принимать лекарства, повышающие иммунитет, что невозможно делать человеку с пересаженной донорской почкой — многократно повышается риск отторжения почки.
Леонид Филатов скончался 26 октября 2003 г.
Похоронен на Ваганьковском кладбище.
